ФЭНДОМ


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]


Вероятностная модельПравить

Вероятностная модель — матмодель реального явления, содержащего элементы случайности(т. е., принципиально неустранимой неопределённости).

Стохастическая ситуация — ситуация, обладающая свойствами:

  • Наличие случайности (неопределённости).
  • Воспроизводимость с учётом случайности.
  • Устойчивость частот событий $ \frac{n_a}n\sim p $, где
$ n_a $ — число экспериментов, в которых произошло событие A,
$ n $ — общее число экспериментов,
$ p = \mathrm{const}\in[0,1] $

Вероятностное пространство — тройка $ (\Omega,\mathfrak A,\mathbb P) $.

$ \Omega $ — произвольное непустое множество. $ \omega\in\Omega $ называют элементарными исходами.
$ \mathfrak A $$ \sigma $-алгебра подмножеств $ \Omega $. $ A\in\mathfrak A $ называют событиями.
$ \mathbb P $ — вероятность, которая должна обладать указанными ниже свойствами.

Свойства вероятности

  • $ \mathbb P(\Omega)=1 $.
  • $ \forall A\in\mathfrak A \ \mathbb P(A)\geqslant0 $.
  • $ \forall A\colon\forall i\in\mathbb N,j\in\mathbb N \ A_i\in\mathfrak A, A_j\in\mathfrak A, \ \forall i\ne j \ A_i\cap A_j=\varnothing $
$ \mathbb P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i) = \sum_{i=1}^\infty\mathbb P(A_i) $ (счётная аддитивность).

Семейство $ \mathfrak A $ подмножеств $ \Omega $ является $ \sigma $-алгеброй:

  • $ \Omega\in\mathfrak A $.
  • $ A\in\mathfrak A\Rightarrow\overline A\in\mathfrak A $.
  • $ \forall A_i\colon\forall i\in\mathbb N \ A_i\in\mathfrak A $
$ \bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\mathfrak A $.

$ \mathfrak B $ — борелевская $ \sigma $-алгебра, порождённая всеми множествами вида $ [a,b)\subset\mathbb R $

Парадокс БертранаПравить

Какова вероятность того, что длина произвольной хорды внутри окружности превосходит длину стороны правильного вписанного треугольника?

  1. $ \frac13 $ Фиксируем начало хорды в одной из вершин, все хорды внутри угла $ \frac\pi3 $ подходят.
  2. $ \frac14 $ Любая из хорд с серединой внутри вписанной в этот треугольник окружности
  3. $ \frac12 $ Любая из перпендикулярных диаметру хорд, пересекающая его не дальше, чем R/2 от центра окружности.

А всё потому, что в постановке задачи не оговорено $ \Omega $, а сказано только «произвольно выбранная». Итого, правильный ответ — любое число от 0 до 1. Доказательство никто не знает :) Всем счастья


Парадокс Бертрана на википедии

[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]