Виды сходимости случайных величин. Центральная предельная теорема, оценка скорости сходимости в ЦПТ

[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]

Виды сходимости случайных величин

1. Почти наверное (почти всюду): $\mathbb P(\{ \omega\mid\lim\limits_{n\to\infty}\xi_n( \omega)=\xi\})=1$.
2. По вероятности: $\forall\varepsilon>0 \ \mathbb P(|X_n-X|> \varepsilon)\underset{n\to\infty}\longrightarrow0$.
3. В среднем порядка $r > 0$: $\mathbb E|\xi_n-\xi|^r \underset{n\to\infty}\longrightarrow0$.
4. По распределению: $F_{\xi_n}(x) \underset{n\to\infty}\longrightarrow F_\xi(x)$ в точках непрерывности $F(x)$.
5. Слабая сходимость: $\forall\varphi(x)$: непрерывной и ограниченной на $\R$.

$\mathbb E\varphi(\xi_n) \underset{n\to\infty}\longrightarrow\mathbb E\varphi(\xi)$, или

$\int_{-\infty}^\infty\varphi(x)\,dF_n(x) \underset{n\to\infty}\longrightarrow\int_{-\infty}^\infty\varphi(x)\,dF(x)$.

• Взаимосвязи между типами сходимости:

$1 \Rightarrow2$

$3 \Rightarrow2$

$2 \Rightarrow (5 \Leftrightarrow 4)$

Центральная предельная теорема

Пусть $\xi_1,\dots,\xi_n$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, $\exists \mathbb E\xi_i=a< \infty, \ \exists\mathbb D\xi_i= \sigma^2< \infty,\ \sigma\ne0$. Мнение Кудрявцева: не нужно говорить, что $\mathbb E < \infty$, потому что это автоматически вытекает из конечности дисперсии, так как дисперсия — момент более высокого порядка.
Тогда $\mathbb P\biggl(\frac{\sum_{i=1}^n\xi_i-n \mathbb E\xi_i}{\sqrt{n\mathbb D\xi_i}}< x\biggr)\overset x{\underset{n\to\infty}\rightrightarrows}\Phi(x)$, где $\Phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{\frac{-u^2}2}du$ — стандартное нормальное распределение.

Неравенство Бе́рри-Эссе́ена

$\biggl|\mathbb P\biggl(\frac{\sum_{i=1}^n\xi_i-n\mathbb E\xi}{\sqrt{n\mathbb D\xi_i}}< x\biggr)-\Phi(x)\biggr|\leqslant\frac{C_0M^3}{\sqrt{n(\mathbb D\xi_i)^3}}$, где $M^3= \mathbb E|\xi-\mathbb E\xi|^3, \ 0.4< C_0\leqslant0.7056$ — константа Берри-Эссеена (оценка получена в 2006 Шевцовой И.Г.). (0.4 < C_0 < 0.5)

Для того, чтобы была справедлива ЦПТ, достаточно существования только дисперсии.
Для выполнения неравенства Берри-Эссеена необходимо существование третьего центрального момента.
Если потребовать только $\exists \mathbb E|\xi_i- \mathbb E\xi_i|^2$, скорость сходимости будет сколь угодно медленная.
Если потребовать $\exists \mathbb E|\xi_i- \mathbb E\xi_i|^{3+\varepsilon}$, скорость сходимости не увеличится.

Обобщение ЦПТ

Пусть $\xi_1,\dots,\xi_n,\dots$ — независимые случайные величины с конечными матожиданиями $a_i$ и дисперсиями $b_i^2$

$A_n=\sum_{i=1}^n a_i, \ B_n^2= \sum_{i=1}^n b_i^2$.

Пусть $F_n= \mathbb P\biggl(\frac{\sum_{i=1}^n\xi_i-A_n}{B_n}< x \biggr)$;

• Условие Линдеберга
  

$\forall t>0$

$\frac1{B_n^2} \sum_{i=1}^n\int_{|x-a_i|>tB_n}|x-a_i|^2\,dF_i(x)\underset{n\to\infty}\longrightarrow0$

Здесь $F_i(x)$ — функция распределения $i$-й случайной величины.

• Теорема Линдеберга-Феллера

Пусть имеются конечные матожидания и дисперсии. Условие Линдеберга выполняется тогда и только тогда, когда существуют пределы

$\begin{cases}\sup\limits_x|F_n(x)- \Phi(x)| { \underset{n\to\infty}\rightarrow}0\\ \lim\limits_{ n\to\infty}\sup\limits_{1\leqslant i\leqslant n} \mathbb P(|\xi_i-a_i|> \varepsilon B_n)=0&\forall \varepsilon>0. \end{cases}$

Второе условие называется условием равномерной предельной малости (по i).

• Теорема Ляпунова
  

Если $\exists \mathbb E|\xi_i- \mathbb E\xi_i|^3=\mu_i^3, \ M_n^3=\sum_{i=1}^n\mu_i^3, \ \frac{M_n^3}{B_n^3} \underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,$ справедлива центральная предельная теорема, т.е. $F_n(x)\underset{n\to\infty}\longrightarrow\Phi(x)$

• Если выполнены неравенства из теоремы Линдеберга-Феллера, выполнено и условие Линдеберга.

[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]