ФЭНДОМ


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]


  • Пусть $ \xi_1,\dots,\xi_n,\dots $ — независимые одинаково распределённые случайные величины, определённые на одном вероятностном пространстве $ ( \Omega, \mathfrak A, \mathbb P) $ и имеющие конечное матожидание $ \mathbb E\xi_i=a $.

Тогда $ \overline\xi_n=\frac1n \sum_{i=1}^n\xi_i \overset{\mathbb P}\to \mathbb E\xi_i $.

! Сходимость в ЗБЧ — по вероятности.
Если случайные величины независимые, то сходимость в ЗБЧ - почти наверное. Если сл. вел. некоррелированные (корреляция равна нулю), то сходимость - по вероятности.
Подробнее на http://ru.wikipedia.org/wiki/ЗБЧ
  • Оценка $ Y_n=|\overline\xi_n- \mathbb E\xi_i| $: (хрень, так как выше мы потребовали лишь существования матожидания. Лучше сформулировать услиленный ЗБЧ)

$ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{Y_n}{r(n)}=c:0\ne c<\infty $

$ \mathbb P\left(\sqrt n\cdot\left|\overline\xi_n-\mathbb E\xi_i\right|<\varepsilon\right)= $

$ =\mathbb P\left(-\varepsilon<\sqrt n\cdot\left(\overline\xi_n-\mathbb E\xi_i\right)<\varepsilon\right)= $

$ =\mathbb P\left(-\frac\varepsilon\sigma<\frac{\sum\xi_n-n\cdot\mathbb E\xi_i}{\sigma\sqrt n}<\frac\varepsilon\sigma\right)\rightrightarrows $

$ \rightrightarrows\Phi\left(\frac\varepsilon\sigma\right)-\Phi\left(-\frac\varepsilon\sigma\right)=2\cdot\Phi\left(\frac\varepsilon\sigma\right)-1, $ действительно нетривиальный предел.

Следовательно скорость сходимости $ r(n)=n^{-\frac12} $.

[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]