ФЭНДОМ


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]


Определение Править

Зависит ли $ T $ от предыдущей части траектории?
$ \mathbb P(\{T>t+s \mid T>s\}) $ — ?

Пусть $ u(t)= \mathbb P(T>t) $.

$ u(t+s\mid s)=\frac{ \mathbb P(T>t+s\cap T>s)}{ \mathbb P(T>s)}=\frac{\mathbb P(T>t+s)}{\mathbb P(T>s)} $
$ u(t+s\mid s)u(s)=u(t+s) $
$ u(t+s\mid s)=u(t+s) \Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t} $.

Комментарий: в лекциях вместо $ u(t+s\mid s) $ везде $ u(t\mid s) $
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно. По словам Кудрявцева и Шестакова, это НЕ относится к информационным свойствам пуассоновского процесса. Вместо этого формулируется

Время ожидания между скачками пуассоновского процесса имеет показательное распределение.

  • Рассмотрим отрезок $ [a,b] $ на временно́й оси.

$ X(b)-X(a)=n $ — число скачков на отрезке $ [a,b] $.
Условное распределение моментов скачков $ \tau_1,\dots,\tau_n\mid X(b)-X(a)=n $ совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины $ n $ из $ R[a,b] $.

Плотность этого распределения $ f(\tau_1,\dots,\tau_n) = \frac{n!}{(b-a)^n}\Bigl[\tau_j\in[a,b]\ \forall j=\overline{1,n}\Bigr]\Bigl[\tau_1 < \dots < \tau_n \Bigr] $ (выражение в квадратных скобках — индикатор, $ \Bigl[True \Bigr] = 1, \Bigl[False \Bigr] = 0 $).

ЦПТ Править

  • Теорема.

$ \mathbb P\biggl(\frac{X(t)-\lambda t}{\sqrt{ \lambda t}}< x\biggr)\underset{\lambda t\to\infty}{\overset x\rightrightarrows}\Phi(x)\sim N(0,1)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{u^2}2}du $

Скорость сходимости:
$ \sup\limits_x\biggl|\mathbb P \biggl(\frac{X(t)-\lambda t}{\sqrt{\lambda t}}< x \biggr)-\Phi(x)\biggr| \leqslant\frac{C_0}{\sqrt{ \lambda t}} $,
где $ C_0 $константа Берри-Эссеена.


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]