[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]
Виды сходимости случайных величин [ ]
Почти наверное (почти всюду) :
P
(
{
ω
∣
lim
n
→
∞
ξ
n
(
ω
)
=
ξ
}
)
=
1
{\displaystyle \mathbb P(\{ \omega\mid\lim\limits_{n\to\infty}\xi_n( \omega)=\xi\})=1}
.
По вероятности :
∀
ε
>
0
P
(
|
X
n
−
X
|
>
ε
)
⟶
n
→
∞
0
{\displaystyle \forall\varepsilon>0 \ \mathbb P(|X_n-X|> \varepsilon)\underset{n\to\infty}\longrightarrow0}
.
В среднем порядка
r
>
0
{\displaystyle r > 0}
:
E
|
ξ
n
−
ξ
|
r
⟶
n
→
∞
0
{\displaystyle \mathbb E|\xi_n-\xi|^r \underset{n\to\infty}\longrightarrow0}
.
По распределению :
F
ξ
n
(
x
)
⟶
n
→
∞
F
ξ
(
x
)
{\displaystyle F_{\xi_n}(x) \underset{n\to\infty}\longrightarrow F_\xi(x)}
в точках непрерывности
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
.
Слабая сходимость :
∀
φ
(
x
)
{\displaystyle \forall\varphi(x) }
: непрерывной и ограниченной на
R
{\displaystyle \R}
.
E
φ
(
ξ
n
)
⟶
n
→
∞
E
φ
(
ξ
)
{\displaystyle \mathbb E\varphi(\xi_n) \underset{n\to\infty}\longrightarrow\mathbb E\varphi(\xi) }
, или
∫
−
∞
∞
φ
(
x
)
d
F
n
(
x
)
⟶
n
→
∞
∫
−
∞
∞
φ
(
x
)
d
F
(
x
)
{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\varphi(x)\,dF_n(x) \underset{n\to\infty}\longrightarrow\int_{-\infty}^\infty\varphi(x)\,dF(x)}
.
Взаимосвязи между типами сходимости:
1
⇒
2
{\displaystyle 1 \Rightarrow2}
3
⇒
2
{\displaystyle 3 \Rightarrow2}
2
⇒
(
5
⇔
4
)
{\displaystyle 2 \Rightarrow (5 \Leftrightarrow 4) }
Центральная предельная теорема [ ]
Пусть
ξ
1
,
…
,
ξ
n
{\displaystyle \xi_1,\dots,\xi_n }
— независимые одинаково распределённые случайные величины ,
∃
E
ξ
i
=
a
<
∞
,
∃
D
ξ
i
=
σ
2
<
∞
,
σ
≠
0
{\displaystyle \exists \mathbb E\xi_i=a< \infty, \ \exists\mathbb D\xi_i= \sigma^2< \infty,\ \sigma\ne0}
. Мнение Кудрявцева: не нужно говорить, что
E
<
∞
{\displaystyle \mathbb E < \infty}
, потому что это автоматически вытекает из конечности дисперсии, так как дисперсия — момент более высокого порядка.
Тогда
P
(
∑
i
=
1
n
ξ
i
−
n
E
ξ
i
n
D
ξ
i
<
x
)
⇉
n
→
∞
x
Φ
(
x
)
{\displaystyle \mathbb P\biggl(\frac{\sum_{i=1}^n\xi_i-n \mathbb E\xi_i}{\sqrt{n\mathbb D\xi_i}}< x\biggr)\overset x{\underset{n\to\infty}\rightrightarrows}\Phi(x)}
, где
Φ
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
∞
x
e
−
u
2
2
d
u
{\displaystyle \Phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{\frac{-u^2}2}du }
— стандартное нормальное распределение.
Неравенство Бе́рри-Эссе́ена [ ]
|
P
(
∑
i
=
1
n
ξ
i
−
n
E
ξ
n
D
ξ
i
<
x
)
−
Φ
(
x
)
|
⩽
C
0
M
3
n
(
D
ξ
i
)
3
{\displaystyle \biggl|\mathbb P\biggl(\frac{\sum_{i=1}^n\xi_i-n\mathbb E\xi}{\sqrt{n\mathbb D\xi_i}}< x\biggr)-\Phi(x)\biggr|\leqslant\frac{C_0M^3}{\sqrt{n(\mathbb D\xi_i)^3}} }
, где
M
3
=
E
|
ξ
−
E
ξ
|
3
,
0.4
<
C
0
⩽
0.7056
{\displaystyle M^3= \mathbb E|\xi-\mathbb E\xi|^3, \ 0.4< C_0\leqslant0.7056}
— константа Берри-Эссеена (оценка получена в 2006 Шевцовой И.Г. ). (0.4 < C_0 < 0.5)
Для того, чтобы была справедлива ЦПТ, достаточно существования только дисперсии.
Для выполнения неравенства Берри-Эссеена необходимо существование третьего центрального момента.
Если потребовать только
∃
E
|
ξ
i
−
E
ξ
i
|
2
{\displaystyle \exists \mathbb E|\xi_i- \mathbb E\xi_i|^2 }
, скорость сходимости будет сколь угодно медленная.
Если потребовать
∃
E
|
ξ
i
−
E
ξ
i
|
3
+
ε
{\displaystyle \exists \mathbb E|\xi_i- \mathbb E\xi_i|^{3+\varepsilon} }
, скорость сходимости не увеличится.
Обобщение ЦПТ [ ]
Пусть
ξ
1
,
…
,
ξ
n
,
…
{\displaystyle \xi_1,\dots,\xi_n,\dots }
— независимые случайные величины с конечными матожиданиями
a
i
{\displaystyle a_i}
и дисперсиями
b
i
2
{\displaystyle b_i^2 }
A
n
=
∑
i
=
1
n
a
i
,
B
n
2
=
∑
i
=
1
n
b
i
2
{\displaystyle A_n=\sum_{i=1}^n a_i, \ B_n^2= \sum_{i=1}^n b_i^2}
.
Пусть
F
n
=
P
(
∑
i
=
1
n
ξ
i
−
A
n
B
n
<
x
)
{\displaystyle F_n= \mathbb P\biggl(\frac{\sum_{i=1}^n\xi_i-A_n}{B_n}< x \biggr)}
;
∀
t
>
0
{\displaystyle \forall t>0}
1
B
n
2
∑
i
=
1
n
∫
|
x
−
a
i
|
>
t
B
n
|
x
−
a
i
|
2
d
F
i
(
x
)
⟶
n
→
∞
0
{\displaystyle \frac1{B_n^2} \sum_{i=1}^n\int_{|x-a_i|>tB_n}|x-a_i|^2\,dF_i(x)\underset{n\to\infty}\longrightarrow0}
Здесь
F
i
(
x
)
{\displaystyle F_i(x)}
— функция распределения
i
{\displaystyle i}
-й случайной величины.
Теорема Линдеберга-Феллера
Пусть имеются конечные матожидания и дисперсии. Условие Линдеберга выполняется тогда и только тогда, когда существуют пределы
{
sup
x
|
F
n
(
x
)
−
Φ
(
x
)
|
→
n
→
∞
0
lim
n
→
∞
sup
1
⩽
i
⩽
n
P
(
|
ξ
i
−
a
i
|
>
ε
B
n
)
=
0
∀
ε
>
0.
{\displaystyle \begin{cases}\sup\limits_x|F_n(x)- \Phi(x)| { \underset{n\to\infty}\rightarrow}0\\
\lim\limits_{ n\to\infty}\sup\limits_{1\leqslant i\leqslant n} \mathbb P(|\xi_i-a_i|> \varepsilon B_n)=0&\forall \varepsilon>0.
\end{cases}}
Второе условие называется условием равномерной предельной малости (по i).
Если
∃
E
|
ξ
i
−
E
ξ
i
|
3
=
μ
i
3
,
M
n
3
=
∑
i
=
1
n
μ
i
3
,
M
n
3
B
n
3
⟶
n
→
∞
0
,
{\displaystyle \exists \mathbb E|\xi_i- \mathbb E\xi_i|^3=\mu_i^3, \ M_n^3=\sum_{i=1}^n\mu_i^3, \ \frac{M_n^3}{B_n^3} \underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,}
справедлива центральная предельная теорема, т.е.
F
n
(
x
)
⟶
n
→
∞
Φ
(
x
)
{\displaystyle F_n(x)\underset{n\to\infty}\longrightarrow\Phi(x)}
Если выполнены неравенства из теоремы Линдеберга-Феллера, выполнено и условие Линдеберга.
[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]