ФЭНДОМ


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]


МатожиданиеПравить

Математическое ожидание случайной величины $ \xi $ ($ \Omega\to\mathbb R $):

$ \mathbb E\xi=\int_\Omega\xi(\omega)\mathbb P(d\omega)=\int_{-\infty}^\infty x\,dF_\xi(x) $
  • В дискретном случае $ \mathbb E\xi=\sum_{i=1}^\infty x_i\mathbb P(\xi= x_i) $. Существует только если этот ряд сходится абсолютно, иначе по теореме Римана можно переставить элементы ряда так, чтобы он сходился к любому наперед заданному числу.
  • В абсолютно непрерывном случае (т.е. при наличии плотности) $ \mathbb E\xi=\int_{-\infty}^\infty xf_\xi(x)\,dx $

Матожидание не всегда существует. Например, его нет у случайной величины с плотностью $ f_\xi(x)=\frac1{\pi(1+x^2)} $.
Если матожидание существует, то оно единственно.
Матожидание линейно.
Матожидание — «ожидаемое» значение случайной величины .
Физическая интерпретация -- центр масс.

МедианаПравить

$ X_q $кванти́ль распределения $ P_{\xi}\ \left(q\in[0,1]\right)\colon\begin{cases} \mathbb P(\xi < X_q)\leqslant q\\ \mathbb P(\xi\leqslant X_q)\geqslant q \end{cases} $

Если $ \xi $абсолютно непрерывна, то кванти́ль однозначно определяется из уравнения $ F_\xi(X_q) = q $

Медиана $ \operatorname{med}\xi=X_{\frac12} $.
Медиана определена всегда.
Медиана может быть неединственна в дискретном случае: $ \xi=\begin{cases} 0&\mathbb P=\frac12\\ 1&\mathbb P=\frac12 \end{cases} $ В этом случае $ \operatorname{med}\xi=x \ \forall x\in[0,1] $
Медиана — «серединное» значение случайной величины
Медиана устойчива к выбросам.

МодаПравить

  • В случае дискретной случайной величины $ \operatorname{mod}\xi=\{x_i\mid\mathbb P(\xi=x_i)\geqslant\mathbb P(\xi=x_k) \ \forall k\ne i, k\in \mathbb N\} $
  • В случае абсолютно непрерывной случайной величины с кусочно-непрерывной плотностью $ f_\xi(x) $ (так как у абсолютно непрерывных случайных величин плотность определяется неоднозначно, будем рассматривать ту плотность, значение которой в каждой точке равно максимуму из значений левого и правого предела в этой точке) $ \operatorname{mod}\xi=\{x\mid f_\xi(x)\geqslant f_\xi(y) \ \forall y\in\mathbb R\} $

Мода всегда определена.
Мода может быть неединственна. Например, $ \xi=\{1,2,2,2,4,5,5,5,7\} $ — распределение значений $ \xi $ по элементарным исходам. Здесь две моды: 2 и 5. Могут быть мультимодальные абсолютно непрерывные распределения, которые достигают абсолютного максимума в нескольких точках.
Мода — «самое вероятное» значение случайной величины.


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]