Случайные величины. Зависимость событий и случайных величин

[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]

Случайные величины

Случайная величина — числовая функция $\xi\colon \Omega\to\mathbb R$, определённая на вероятностном пространстве $(\Omega,\mathfrak A,\mathbb P)$, измеримая на $\mathfrak B\subset \mathbb R$, т.е.

$\forall B\in\mathfrak B\ \xi^{-1}(B)=\{\omega\mid\xi(\omega)\in B\}\in\mathfrak A$, где $\mathfrak B$ — борелевская $\sigma$-алгебра на $\R$.

Полный прообраз любого борелевского множества значений случайной величины является событием.

Случайные величины бывают дискретные. Такие принимают не более, чем счётное число значений.
Бывают непрерывные случайные величины.
Сингулярные случайные величины имеют непрерывную функцию распределения, множество точек роста которой имеет мощность меры нуль: $\begin{cases}F_\xi(x)\in c(\mathbb R)&\text{is the distribution function of }\xi\\ \frac{dF_\xi(x)}{dx}=0&\text{almost everywhere}\end{cases}$. Пример функции распределения сингулярной случайной величины — лестница Кантора.

Независимость событий и случайных величин

События $A,B \in \mathfrak{A}$ называются независимыми, если $\mathbb P(A\cap B)= \mathbb P(A)\mathbb P(B)$

События $A_1,\dots,A_n$ называются независимыми в совокупности, если $\forall 1\leqslant i_1< \dots< i_k\leqslant n \ \mathbb P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=\mathbb P(A_{i_1})\dots\mathbb P(A_{i_k})$

Случайные величины $\xi, \eta$ называются независимыми, если $\forall B_1,B_2\in\mathfrak B \ \mathbb P(\xi\in B_1\cap\eta\in B_2)=\mathbb P(\xi\in B_1)\mathbb P(\eta\in B_2)$

Ковариация

$\operatorname{cov}(\xi,\eta)=\mathbb E(\xi-\mathbb E\xi)(\eta-\mathbb E\eta)= \mathbb E\xi\eta- \mathbb E\xi \mathbb E\eta$

• Ковариация линейна относительно аргумента. $\operatorname{cov}(a\xi+b,c\eta+d)=ac\operatorname{cov}(\xi,\eta)$. Ковариация не зависит от сдвига аргумента.
• Ковариация симметрична: $\operatorname{cov}(\xi,\eta)=\operatorname{cov}(\eta,\xi)$
• Если $\xi$ и $\eta$ независимы, то $\operatorname{cov}(\xi,\eta)=0$. Обратное верно не всегда.
  Контрпример: Пусть $x$ имеет равномерное распределение на $[-1, 1]$, $y=x^2$. Тогда $\mathbb E(x)=0$. Следовательно, $\operatorname{cov}(x,y)=\mathbb E(xy)-\mathbb E(x)\mathbb E(y)=0$, так как $\mathbb E(xy)=0$. Таким образом, $x$ и $y$ некоррелированы, но зависимы.

Коэффициент корреляции

$\operatorname{cor}(\xi,\eta)=\frac{\operatorname{cov}(\xi,\eta)}{\sqrt{\mathbb D\xi\mathbb D\eta}}$

• $\forall\xi,\eta \ |\operatorname{cor}(\xi,\eta)| \leqslant 1$
• $|\operatorname{cor}(\xi,\eta)|=1\Leftrightarrow\xi=a\eta+b$ почти наверное $\ (\exists a,b=\mathrm{const}\in \mathbb R)$

[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]