ФЭНДОМ


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]


Обобщения пуассоновского процессаПравить

Пусть $ N_1(t) $ — стандартный пуассоновский процесс ($ \lambda=1 $).
$ \mathbb P(N_\lambda(t)=k)=\mathbb P(N_1(\lambda t)=k) $, т.е. $ N_\lambda(t) $ и $ N_1(\lambda t) $ стохастически эквивалентны.

Пусть

  • $ \Lambda(t) $ — интенсивность пуассоновского процесса. $ \forall t\geqslant0 \ \Lambda(t)>0 $;
  • $ N^*(t) $ — неоднородный пуассоновский процесс:
$ N^*(0)=0 $ почти наверное;
$ \mathbb P(N^*(t)=k)=\frac{\Lambda^k(t)e^{-\Lambda(t)}}{k!} $;
$ \mathbb P(N_1(\Lambda(t))=k)=\mathbb P(N^*(t)=k) $, т.е. $ N_1(\Lambda(t)) $ и $ N^*(t) $ стохастически эквивалентны.
$ \lambda(t) $ — мгновенная интенсивность:
$ \lambda(t)=\frac{\Lambda(t+h)-\Lambda(t)}h\bigg|_{h\to0} $; $ \Lambda(t)=\int_0^t\lambda(\tau)d\tau $ — накопленная интенсивность.

Процесс КоксаПравить

Пусть $ \Lambda(t) $случайный процесс:

  1. $ \Lambda(0)=0 $ почти наверное;
  2. $ \forall t\in T \ \Lambda(t)< \infty $ почти наверное;
  3. $ \Lambda(t) $ не убывает и имеет непрерывные справа траектории.
  4. $ \Lambda(t) $ и $ N_1 (t) $ независимы.

Тогда $ N(t)=N_1( \Lambda(t)) $дважды стохастический пуассоновский процесс, или процесс Кокса с управляющим процессом $ \Lambda(t) $, где $ N_1(t) $пуассоновский процесс с интенсивностью $ \lambda=1 $.

Свойства процесса КоксаПравить

$ \mathbb EN(t)=\mathbb EN_1(\Lambda(t))=\mathbb E\Lambda(t) $
$ \left.\begin{array}{r} \mathbb DN(t)=\mathbb EN^2(t)-\mathbb E^2N(t)\\ \mathbb EN^2(t)=\mathbb EN_1^2(\Lambda(t))=\mathbb E(\mathbb EN_1^2(\Lambda(t))\mid\Lambda(t))=\mathbb E\Lambda(t)+\mathbb E\Lambda^2(t)\\ \end{array}\right\} $

из системы получим: $ \mathbb DN(t)=\mathbb E\Lambda(t)+\mathbb D\Lambda(t) $

[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]