ФЭНДОМ


Important-icon
Achtung!
Возможна ошибка с названиями. Непонятно, что именно называется ЦПТ, а что ЗБЧ для о.п.Кокса. Теоремы взяты из монографии В.Ю. Королёва "Смешанные гауссовские вероятностные модели реальных процессов"

[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]


Обобщённый процесс Кокса Править

Пусть $ X_1,\dots,X_n,\dots $независимые одинаково распределённые случайные величины, заданные на одном вероятностном пространстве, $ \mathbb EX_i=a, \ \mathbb DX_i=\sigma^2 $,
$ N_1 (t) $ — стандартный пуассоновский процесс,
$ \Lambda (t) $случайный процесс с неубывающими непрерывными справа траекториями, $ \Lambda (0) = 0 $почти наверное, $ \mathbb P(\Lambda (t)< \infty)=1 \ \forall t\in T $(нужно ли здесь это? - не нужно: следует из того, что N(t) - процесс Кокса).

$ \Lambda(t) $ и $ N_1 (t) $ независимы,$ N_1(t), X_1, \dots, X_n, \dots $ независимы (? не уверен, возможно, тут нужно написать $ \forall t \in T $)

Тогда $ S(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}X_i $обобщённый процесс Кокса,
где $ N(t)=N_1(\Lambda(t)) $процесс Кокса (дважды стохастический пуассоновский процесс).

ЦПТ для обобщённых процессов Кокса Править

Пусть $ \mathbb D X_i=\sigma^2 $, $ d(t) > 0 $ — функция, неограниченно возрастающая при $ t \to \infty $.
Предположим, что $ \Lambda(t)\underset{t\to\infty}{\overset{\mathbb P}\to}\infty $ (по вероятности при $ t \to \infty $). Для того, чтобы одномерные распределения нормированного обобщенного процесса Кокса слабо сходились к распределению некоторой с.в. $ Z $:
$ \frac{S(t)}{\sigma \sqrt{d(t)}}\underset{t \to \infty}\Longrightarrow Z $
необходимо и достаточно, чтобы существовала неотрицательная с.в. $ U $ такая, что:

  1. $ P(Z < x)=\int_{0}^{\infty} \Phi\left(\frac{x}{\sqrt{y}}\right)dP(U < y), x \in R $
  2. $ \frac{\Lambda(t)}{d(t)}\underset{t \to \infty}\Longrightarrow U $

Следствие (это и есть ЦПТ для обощенного процесса Кокса):

В условиях теоремы, сформулированной выше
$ \mathbb P\left(\frac{S(t)}{\sigma \sqrt{d(t)}}<x\right)\underset{t \to \infty}\Longrightarrow \Phi(x) $
тогда и только тогда, когда
$ \frac{\Lambda(t)}{d(t)}\underset{t \to \infty}\Longrightarrow1 $

ЗБЧ для ОПК Править

Пусть $ \mathbb E X_i=a $ (возможно, $ \ne0 $), $ S(t) $ — обощенный процесс Кокса, $ \Lambda(t)\underset{t\to\infty}{\overset{\mathbb P}\to} \infty $ (по вероятности при $ t \to \infty $).
$ \frac{S(t)}{t} \Longrightarrow \mathbb Z\Leftrightarrow \frac{\Lambda(t)}{t} \Longrightarrow U $, причем $ \mathbb Z = aU $(по распределению).