ФЭНДОМ


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]


Случайный процесс Править

  • Семейство случайных величин $ X(t,\omega) $, определённых на одном вероятностном пространстве $ (\Omega,\mathfrak A,\mathbb P) $, где $ t\in T\subset \mathbb R $, — случайный процесс.
  • При любом фиксированном $ \omega_0\in \Omega\colon X(t,\omega_0) $траектория случайного процесса.

Последовательность $ \xi_1,\xi_2,\dots $ — тоже случайный процесс, с дискретным временем.

Пусть $ S=\{X(t)\} $ — множество всех траекторий случайного процесса.
$ \Sigma $ — борелевская $ \sigma $-алгебра на $ S $, порождённая множеством всех открытых подмножеств $ S $.
Случайный процесс обладает свойством измеримости относительно $ \Sigma $. $ X(t)\colon\Omega\to S\colon\forall B\in\Sigma \ \{\omega\mid X(t,w)\in B\}\in\mathfrak A $.

  • Распределение случайного процесса — мера $ \mathbb P_X $:
$ \forall A\in\Sigma \ \mathbb P_X(A)=P(\{\omega\mid X(w)\in A\}) $
  • Процесс $ X(t) $процесс с независимым приращением, если
$ \forall t_0 < t_1 < \dots < t_n\in T \ X(t_0), X(t_1)-X(t_0),\dots,X(t_n)-X(t_{n-1}) $ независимы в совокупности.
  • Процесс $ X(t) $однородный, если
$ \forall t,s,h\colon h>0, t,t+h,s,s+h\in T \ X(t+h)-X(t) $ и $ X(s+h)-X(s) $ имеют одинаковое распределение.

Пуассоновский процесс Править

  • Процесс $ X(t) $ называется однородным пуассоновским процессом с интенсивностью $ \lambda>0 $, если
  1. $ X(t) $ имеет независимое приращение;
  2. $ X(t) $ однородный;
  3. $ X(0)=0 $ почти наверное (с вероятностью 1);
  4. $ h\downarrow0, \ h>0: $
$ \mathbb P(X(h)=0)=1- \lambda h+o(h) $
$ \mathbb P(X(h)=1)= \lambda h+o(h) $
$ \mathbb P(X(h) \geqslant2)=o(h) $

Свойство: Процесс принимает целые неотрицательные значения с вероятностью 1

[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]