ФЭНДОМ


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]


СмесьПравить

$ \int_0^\infty\Phi\left(\frac xy\right)d\mathbb P(Y< y)=\mathbb E\Phi\left(\frac xy\right) $ —смесь случайных величин $ X $ и $ Y, \ Y>0 $.

Плотность смеси для непрерывной $ Y $: $ \mathbb E\left[\frac 1y\varphi\left(\frac xy\right)\right]=\int_0^\infty\frac1y\varphi\left(\frac xy\right)d\mathbb P(Y< y) $

Если $ Y $ дискретна, то смесь имеет вид: $ \sum\limits_k\mathbb P(Y=y_k)\Phi\left(\frac x{y_k}\right) $,

плотность: $ \sum\limits_k\frac{\mathbb P(Y=y_k)}{y_k}\varphi\left(\frac x{y_k}\right) $

Коэффициент эксцессаПравить

Пусть $ \forall n\in\mathbb N \ Z^n<\infty $

Островершинность распределения характеризуется коэффициентом эксцесса. Если $ EZ^4 < \infty $, то $ \varkappa(Z)=\frac{\mathbb E\left(\Z-\mathbb EZ\right)}{\sqrt{\mathbb DZ}^4}^4 $

Для $ Z\sim\Phi(x) \ \varkappa(Z)=3 $: $ f(t)=e^{-\frac{t^2}2} $; $ f^{(4)}(0) $коэффициент эксцесса.

СвойстваПравить

Лемма. Пусть $ \mathbb E\xi=0, \ \mathbb P(\eta>0)=1, \ \mathbb E\xi^4< \infty, \ \mathbb E\eta^4< \infty $
. Тогда

  • $ \varkappa(\xi\eta)\geqslant\varkappa(\xi) $;
  • $ \varkappa(\xi\eta)=\varkappa(\xi)\Leftrightarrow\eta=\operatorname{const} $ почти всюду.

Следствие: $ \varkappa(\xi\sqrt u)\geqslant3 $ — эксцесс обощённого процесса Кокса: $ \eta=\sqrt u, \ \xi\sim N(0,1), \ \mathbb Eu^2< \infty $.

Утв. Пусть $ \xi\sim N(0,1), \ u>0 $ почти наверное, $ z=\xi\sqrt u $
Тогда $ \forall x\geqslant0 \ \mathbb P(z>x)\geqslant1-\Phi(\sqrt{2\pi} xp_z(0)) $.
Если распределение $ z $ симметричо, то $ \mathbb P(|z|>x)\geqslant2(1-\Phi(\sqrt{2\pi}xp_z(0))) $

Следствие.

  • Если $ p_z(x)=\int_0^\infty\frac1{\sqrt y}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2y}}d\mathbb P(u< y) $, то $ p_z(0)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\mathbb Eu^{-\frac12} $.
  • Если $ \mathbb Eu^{-\frac12}=1 $, то $ \mathbb P(|z|>x)\geqslant2(1-\Phi(x)) $, т.е. хвосты масштабных смесей нормальных законов тяжелее, чем хвосты самих нормальных законов.

[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]