ФЭНДОМ


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]


Распределение Пуассона Править

$ \xi_i=\begin{cases}1,& \mathbb P=p\\0,& \mathbb P=q=1-p \end{cases} $.
$ S_n= \sum_{i=1}^n\xi_i $
Тогда $ \mathbb E\xi_i=p, \ \mathbb D\xi_i=pq $
$ \mathbb ES_n=np, \ \mathbb DS_n=npq $

Теорема Пусть $ np=\lambda>0, \ p\leqslant\frac14, \ k-1 \leqslant\frac n4 $
Тогда $ \forall k\in\mathbb N\cup\{0\}\ \mathbb P(S_n=k)=\frac{ \lambda^k}{k!}e^{-\lambda+r_n(k)} $, где
$ \begin{cases} r_n(k) \geqslant\frac{\lambda k}n+2\log\frac43\cdot\frac{k(1-k)}n-\frac{2 \lambda^2}{3n}\sim O(\frac1n) \\ r_n(k) \leqslant\frac{k(1-k)}{2n}+\frac{ \lambda k}n \end{cases} $
Здесь основание логарифма больше единицы; в лекциях 2009 оно равно $ e $.

Так что пуассоновское распределение — предельное для биномиального (при $ n\to\infty $).

  • Случайная величина $ \xi $ имеет распределение Пуассона, если она принимает только целочисленные неотрицательные значения с вероятностями

$ \mathbb P(\xi=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} $, где $ \lambda>0 $ — параметр распределения.

Теорема Пуассона Править

  • Схема (система) серий — множество случайных величин вида

$ \begin{matrix} \xi_{11}\\ \xi_{21}&\xi_{22}\\ \xi_{31}&\xi_{32}&\xi_{33}\\ \vdots\\ \xi_{n1}&\text{...}&\xi_{nn}\\ \dots \end{matrix} $
Каждая $ \xi_{ni} $ — случайная величина Бернулли, т.е. $ \xi_{ni}= \begin{cases}1& \mathbb P=p_n\\0& \mathbb P=1-p_n=q_n.\end{cases} \ p_n $ — параметр серии.

  • Пусть в системе серий $ n\to\infty, \ p_n\to0, \ np_n\to\lambda $

Тогда $ \forall k\in \mathbb N\cup\{0\} \ \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb P(S_n=k)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $

Обобщение теоремы Пуассона Править

Рассматривается та же схема серий, но каждая случайная величина имеет свое распределение (вероятность, что она равна 1).

Пусть$ \lim\limits_{n\to\infty}\max\limits_{1 \leqslant J \leqslant n}p_{n,J}=0, \ \sum_{i=1}^np_{n,i}\to\lambda $
Тогда $ \forall k\in \mathbb N\cup\{0\} \ \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb P(S_n=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} $


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]