ФЭНДОМ


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]


Определения Править

Пусть $ \xi_1,\xi_2,\dots $независимые одинаково распределённые случайные величины;
$ N $ — целочисленная неотрицательная случайная величина
$ \{\xi_i\} $, $ N $ определены на одном вероятностном пространстве $ (\Omega,\mathfrak A,\mathbb P) $ и независимы.

Случайной суммой $ S_N $ называется $ S_N(\omega)=\sum_{i=1}^{N(\omega)}\xi_i(\omega) $

$ F(x) $функция распределения $ \xi_i $
$ p(x) $плотность $ \xi_i $
$ f(x) $характеристическая функция $ \xi_i $ ($ f(t)=\mathbb Ee^{it\xi}) $
$ \psi(x) $производящая функция $ N $ ($ \psi(s)=\mathbb Es^N $, $ |s|\leqslant1 $)
$ p_n = P(N=n) $

Свойства случайных сумм Править

1. $ F_{S_N}(x)=\sum_{n=0}^\infty p_nF^{*n}(x) $, где $ F^{*n} $$ n $-кратная свёртка $ F $; $ F^{*0} $функция распределения с единичным скачком в нуле. $ F^{*n}=\mathbb P(S_n< x)=\mathbb P(\sum_{i=1}^n\xi_i< x) $.
2. Если $ p_0>0 $, то $ F_{S_N}(x) $ не является абсолютно непрерывной, даже если все $ \xi_i $ абсолютно непрерывны.
Если $ p_0=0 $, (? и существует плотность у Хi), то существует плотность $ p_{S_N}(x)=\sum_{n=1}^\infty p_np^{*n}(x) $, где $ p^{*n}(x) $$ n $-кратная свёртка $ p(x) $.
3. $ f_{S_N}=\psi(f(t)) $.
4. $ \mathbb ES_N=\mathbb EN\mathbb E\xi_i $
$ \mathbb DS_N=\mathbb DN\mathbb E^2\xi_i+\mathbb EN\mathbb D\xi_i $.

Пуассоновская случайная сумма Править

Если $ N~\sim\Pi(\lambda) $, то $ S_N=\sum_{i=1}^N\xi_i $обобщённая пуассоновская случайная величина, или пуассоновская случайная сумма.

  • Теорема:
  1. $ f_{S_N}(t)=e^{\lambda(f(t)-1)} $. Как следствие, $ S_N $ безгранично делима.
  2. $ \mathbb ES_N=\lambda\mathbb E\xi_i $
$ \mathbb DS_N=\lambda(\mathbb E\xi_i^2) $.
Кстати, $ \mathbb EN=\mathbb DN=\lambda $.
  • Теорема (должно быть, это ЦПТ для пуассоновских случайных сумм):

Рассмотрим $ \xi_1,\dots,\xi_n $независимые одинаково распределённые случайные величины, заданные на одном вероятностном пространстве. Пусть $ \exists\mathbb E\xi_i=a $ (конечное), $ \exists\mathbb D\xi_i=\sigma^2 $ (тоже конечная). $ N~\sim\Pi(\lambda) $; $ N $ и $ \xi_i $ независимы $ \forall\lambda>0 $. Тогда при $ S_\lambda=\sum_{i=1}^{N_\lambda}\xi_i $ выполняется $ \mathbb P\biggl(\frac{S_\lambda-\lambda a}{\sqrt{\lambda(a^2+\sigma^2)}}< x\biggr)\underset{\lambda\to\infty}{\overset x\rightrightarrows}\Phi(x) $.
Если $ \exists\mathbb E|\xi_i|^3<\infty $, то можно записать неравенство Берри–Эссеена: $ \sup\limits_x\bigg|\mathbb P\biggl(\frac{S_\lambda-\lambda a}{\sqrt{\lambda(a^2+\sigma^2)}}< x\biggr)-\Phi(x)\bigg|< \frac{LC_0}{\sqrt\lambda} $, где $ L=\frac{\mathbb E|\xi_i|^3}{(a^2+\sigma^2)^{\frac32}} $. Здесь$ C_0 $константа Берри–Эссеена.

На одной из комиссий я сослался на эту теорему при решении задачи. Кудрявцев был недоволен, сказал, что он читает эту теорему только на 4ом курсе на кафедре мат.стат. Поэтому, не уверен, что её действительно нужно знать.


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]