ФЭНДОМ


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]

Теорема переносаПравить

Пусть $ \{X_{n,j}\}_{j \geqslant 1}, n = 1,2,... $ - последовательность серий независимых и одинаково в каждой серии распределенных случайных величин, а $ N_n, n = 1,2,... $ - положительные целочисленные случайные величины такие, что при каждом $ n $ случайная величина $ N_n $ независима от последовательности $ \{X_{n,j}\}_{j \geqslant 1} $. Для натуральных $ k $ обозначим

$ S_{n,k} = X_{n,1}+...+X_{n,k} $

Предположим, что существуют неограниченно возрастающая последовательность натуральных чисел $ \{m_n\}_{n \geqslant 1} $ и функции распределения $ H(x) $ и $ A(x) $ такие, что

$ P(S_{n,m_n} < x) \Longrightarrow H(x), n \to \infty $

и

$ P(N_n < m_n x) \Longrightarrow A(x), n \to \infty $.

Тогда существует функция распределения $ F(x) $ такая, что

$ P(S_{n,N_n} < x) \Longrightarrow F(x), n \to \infty $.

При этом функция распределения $ F(x) $ соответствует характеристической функции

$ f(t)=\int_{0}^{\infty} h^u(t)dA(u), t \in R $,

где $ h(t) $ - характеристическая функция, соответствующая функции распределения $ H(x) $


(после сдачи 24.12.12 парень сказал, что это не то, что нужно в вопросе про теорему переноса. что нужно-хз)

нет, это то, что нужно. смотреть Бенинг, Королёв. Теория рисков стр.172

Аналог теоремы Пуассона для случайных сумм случайных индикаторовПравить

Рассмотрим семейство последовательностей случайных величин $ \{X_{p,j}, j \geqslant 1, 0 < p < 1 \} $ такое, что при каждом фиксированном $ p $ случайные величины $ X_{p,1},X_{p,2},... $ имеют одно и то же распределение Бернулли

$ P(X_{p,j} = 1) = p $, $ P(X_{p,j} = 0) = 1 - p $.

Пусть $ \{ N_p, 0 < p < 1 \} $ - семейство положительных целочисленных случайных величин. Предположим, что при каждом фиксированном $ p $ случайные величины $ N_p,X_{p,1},X_{p,2},... $ независимы. Положим

$ S_p=\sum\limits_{j=1}^{N_p} X_{p,j} $.

Предположим, что существует собственная случайная величина $ N $ такая, что

$ pN_p \Longrightarrow N (p \to 0) $.

Тогда

$ S_p \Longrightarrow S (p \to 0) $.

где $ S $ - дискретная случайная величина с распределением

$ P(S = k) = \frac{1}{k!} \int_{0}^{\infty} e^{-z} z^{k} dP(N \leqslant z), k = 0,1,2,... $.