Обобщения пуассоновского процесса, дважды стохастический пуассоновский процесс

[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]

Обобщения пуассоновского процесса

Пусть $N_1 (t)$ — стандартный пуассоновский процесс ($\lambda=1$).
$\mathbb P(N_\lambda(t)=k)=\mathbb P(N_1(\lambda t)=k)$, т.е. $N_\lambda(t)$ и $N_1(\lambda t)$ стохастически эквивалентны.

Пусть

• $\Lambda (t)$ — интенсивность пуассоновского процесса. $\forall t\geqslant0 \ \Lambda(t)>0$;
• $N^*(t)$ — неоднородный пуассоновский процесс:

$N^*(0)=0$ почти наверное;

$\mathbb P(N^*(t)=k)=\frac{\Lambda^k(t)e^{-\Lambda(t)}}{k!}$;

$\mathbb P(N_1(\Lambda(t))=k)=\mathbb P(N^*(t)=k)$, т.е. $N_1(\Lambda(t))$ и $N^*(t)$ стохастически эквивалентны.

$\lambda(t)$ — мгновенная интенсивность:

$\lambda(t)=\frac{\Lambda(t+h)-\Lambda(t)}h\bigg|_{h\to0}$; $\Lambda(t)=\int_0^t\lambda(\tau)d\tau$ — накопленная интенсивность.

Процесс Кокса

Пусть $\Lambda (t)$ — случайный процесс:

1. $\Lambda (0) = 0$ почти наверное;
2. $\forall t\in T \ \Lambda(t)< \infty$ почти наверное;
3. $\Lambda (t)$ не убывает и имеет непрерывные справа траектории.
4. $\Lambda (t)$ и $N_1 (t)$ независимы.

Тогда $N(t)=N_1(\Lambda(t))$ — дважды стохастический пуассоновский процесс, или процесс Кокса с управляющим процессом $\Lambda (t)$, где $N_1 (t)$ — пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda=1$.

Свойства процесса Кокса

$\mathbb EN(t)=\mathbb EN_1(\Lambda(t))=\mathbb E\Lambda(t)$
$\left.\begin{array}{r} \mathbb DN(t)=\mathbb EN^2(t)-\mathbb E^2N(t)\\ \mathbb EN^2(t)=\mathbb EN_1^2(\Lambda(t))=\mathbb E(\mathbb EN_1^2(\Lambda(t))\mid\Lambda(t))=\mathbb E\Lambda(t)+\mathbb E\Lambda^2(t)\\ \end{array}\right\}$

из системы получим: $\mathbb DN(t)=\mathbb E\Lambda(t)+\mathbb D\Lambda(t)$

[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]