ФЭНДОМ


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]


Устойчивые распределения Править

  • Функция распределения $ G(x) $ и соответствующая ей характеристическая функция $ g(t) $ называются устойчивыми, если $ \forall a_1>0, a_2>0, b_1\in\mathbb R, b_2\in\mathbb R \exists a>0, b\in\mathbb R $
Important-icon
Achtung!
звезда — это свертка, не умножение.

$ G(a_1x+b_1)*G(a_2x+b_2)=G(ax+b). $
Это условие эквивалентно тому, что $ \forall a_1>0, a_2>0 \exists a>0, b\in\mathbb R $
$ g(a_1t)g(a_2t)=e^{ibt}g(at) $.
(Определение взято из Бенинг, Королёв "Теория рисков", с 77)


Все невырожденные устойчивые распределения абсолютно непрерывны.

  • Теорема Леви́

Пусть $ \xi_1,\dots,\xi_n,\dots $ — независимые одинаково распределённые случайные величины, определённые на одном вероятностном пространстве.
Тогда функция распределения $ F(x) $ может быть предельной для сумм вида $ \frac{ \sum_{i=1}^n\xi_i-a_n}{b_n} $ при некоторых $ a_n\in\mathbb R,\ b_n>0\Leftrightarrow F(x) $ устойчива.

Безгранично делимые распределения Править

  • Характеристическая функция $ f(t) $ называется безгранично делимой, если $ \forall n\in\mathbb N \ \exists f_n(t)\colon f(t)=(f_n(t))^n $, где $ f_n(t) $ тоже характеристическая функция некоторой случайной величины.

Соответствующая этой характеристической функции случайная величина также называется безгранично делимой.

  • Теорема Хи́нчина

Пусть $ \forall \varepsilon>0\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{1 \leqslant J \leqslant m_n}\mathbb P(|\xi_{n,J}|>\varepsilon)=0 $ — условие равномерной предельной малости.
Тогда функция распределения $ F(x) $ может быть предельной для сумм вида $ \sum_{i=1}^{m_n}\xi_{n,i} $ при $ n\to\infty\Leftrightarrow F(x) $ соответствует безгранично делимая характеристическая функция.


[ Предыдущий билет | К списку билетов | Следующий билет ]